Các bài toán hình ôn thì vào 10(tt)

February 29, 2008

Bài 7 (LHP 04 – 05 – đề chung) Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ các tuyến MAB không đi qua O, A nằm giữa A và B. Tia phân giác widehat{ACB} cắt AB tại E.

a) Chứng minh MC = ME.

b) Chứng minh AD là phân giác của widehat{ADB}.

c) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh O, I, C, M, D cùng thuộc một đường tròn.

d) Chứng minh IM là phân giác của widehat{CID}

Bài 8:   (THTH 05 -06) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi I là điểm đối xứng của A qua O. Trên cạnh BA lấy điểm M và trên đường kéo dài của cạnh AC về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN. Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau.

b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn.

c) K là trung điểm của đoạn MN.

Advertisements

Các bài toán hình học ôn thi vào lớp 10(tt)

February 27, 2008

Bài 3, 4

Bài 5: (THTH 06 – 07) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC ( D thuộc cạnh BC). Trên AD lấy hai điểm M, N sao cho widehat{ABN} =widehat{CBM}. BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai F.

a)Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp.

b) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng:widehat{BCF} =widehat{ACM}. Từ đó suy ra: widehat{ACN} =widehat{BCM}.

Hướng dẫn giải:

5.png

a) Ta có:

widehat{BFN}=widehat{BAM} (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

Và  widehat{CEM}=widehat{CAM} (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

widehat{BAN} =widehat{CAM} (AD là phân giác góc A)
Nên ta có widehat{BFN} =widehat{CEM} hay widehat{BFC} =widehat{BEC}, suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau).

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: widehat{CFE} =widehat{CBE} hay widehat{NFA}=widehat{CBM}

widehat{EBA} =widehat{NFA}widehat{NBA} =widehat{CBM}(gt)

Do đó:widehat{NFA} = widehat{NFE}, suy ra F, A, E thẳng hàng.

c) Ta có widehat{BCF} = widehat{BEF} = widehat{BEA} (BFEC nội tiếp)

widehat{ACM} =widehat{MEA} =widehat{BEA} (AECM nội tiếp).

Suy ra widehat{BCF} =widehat{ACM}, dễ dàng suy ra widehat{ACN} =widehat{BCM}
Bài 6: (NK AB – 07 – 08) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và góc widehat{BAC} = 60^o. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm BC.
a) Chứng minh tam giác INP đều.
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Giả sử IA là phân giác của góc widehat{NIP}. Hãy tính số đo góc widehat{BCP}

Hướng dẫn giải:

6.png

a) Tam giác PCB vuông tại P có PI là trung tuyến nên PI = dfrac{1}{2}BC

Tương tự thì NI =dfrac{1}{2}BC

Suy ra: PI = NI (1)

Tam giác PIC cân tại I, nên ta có widehat{PIB} =2widehat{PCI}

Tương tự thì widehat{NIC} =2widehat{PBI}

widehat{PCI} +widehat{NBI} = 180^o - widehat{BHC} = 180^o - 120^o =60^0

suy ra: widehat{PIB} + widehat{NIC} = 2(widehat{PCI}+widehat{NBI}) = 120^o Rightarrow widehat{PIN} = 60^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác NIP đều.

b) Trong tam giác CPB có I, E lần lượt là trung điểm BC và CP nên IE là đường trung bình, suy ra IE bot CP Rightarrow widehat{IEH} = 90^o

Tương tự ta cũng có  widehat{IKH} = 90^o

Vậy ta có widehat{IEH} = widehat{IKH} =widehat{IMH} =90^o nêm 5 điểm K, H, I, E, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

c) Tam giác IPN đều, nếu IA là đường phân giác thì cũng là đường trung trực, nên suy ra AP = AN, suy ra triangle APC =triangle ANB Rightarrow AB = AC, từ đó ta có tam giác ABC đều, suy ra widehat{BCP} = 30^o


Các bài toán hình học ôn thi học kì II và thi vào 10(tt)

February 25, 2008

 Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và CEH. Chứng minh HF đi qua trung điểm M của DE.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm F.

Hướng dẫn giải:

3.png

a) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và CEH.

Tam giác AHB vuông tại H có HD là trung tuyến nên DH = DB left(=dfrac{1}{2}AB right) mà IB = IH, suy ra DI là đường trung trực của BH. Suy ra DI bot BH.

Mặt khác ta có DE làđường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC.

Từ đó suy ra ID bot DE, mà D thuộc (I) nên DE là tiếp tuyến của (I).

Chứng minh tương tự ta cũng có DE là tiếp tuyến của (J).

b) Gọi M là giao điểm của HF và DE. Ta chứng minh được tam giác MDF và MHD đồng dạng (g.g), suy ra dfrac{MD}{MH} =dfrac{MF}{MD} Rightarrow MF.MH =MD^2 (1)

Tương tự ta có MF.MH =ME^2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.

c) Ta có widehat{DFM} =widehat{MDH}widehat{EFM} =widehat{MEH}, suy ra widehat {DFE} =widehat{DFM} + widehat{EFM} =widehat{MDH}+widehat{MEH} (3)

Tam giác DHE bằng tam giác DAE (ccc), suy ra widehat{DHE} = widehat{DAE} (4)

Từ (3) và (4) ta có: widehat{DAE} + widehat{DFE} =widehat{MDH} +widehat{MEH} +widehat{DHE} =180^o
Suy ra tứ giác AEFD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o), hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm F.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng.

b) Tìm vị trí của M để đoạn HK có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

41.png

a) Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AHMK nội tiếp. Từ đó suy ra
widehat{HAK} + widehat{HMK} = 180^owidehat{MHK} =widehat{MAK} (1)
Hơn nữa, tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) nên widehat{BAC} + widehat{BMC} =180^owidehat{MBC} =widehat{MAC} (2)
Từ (1) và (2) ta có widehat{HKM} =widehat{BMC}, widehat{MHK} =widehat{MBC}, suy ra tam giác MHK đồng dạng với tam giác MBC (g.g)
b) Tam giác MHK và MBC đồng dạng, suy ra dfrac{KH}{BC} =dfrac{MH}{MB} le 1 Rightarrow HK le BC
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi H trùng B, hay M điểm đối xứng của A qua O.
Vậy HK đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi M là điểm đối xứng của A qua O.

Phần 1


Các bài toán hình học ôn thi học kì II và thi vào 10

January 26, 2008

Bài 1: (Thi vào 10, năm 2007 – 2008).

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a)     Chứng minh rằng tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.

b)     Chứng minh AE. AB = AF. AC

c)     Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số dfrac{OK}{BC} khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d)     Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.

Hướng dẫn giải:

bai-1.png

a) B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đk BC nên tứ giác BEFC nội tiếp.

widehat{BEC} = 90^o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra CE bot AB

widehat{BFC}=90^o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra BF bot AC

Trong tam giác ABC hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH bot BC.

b) Ta có tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng vì có:

+ Góc A chung

+widehat{AEF} =widehat{ACB} ( tứ giác BEFC nội tiếp)

Suy ra: dfrac{AE}{AC} =dfrac{AF}{AB} Rightarrow AE.AB = AF.AC

c) Ta chứng minh được: widehat{BAC} +widehat{BHC} = 180^0

widehat{BOC} = 2widehat{BAC}( góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Mà tứ giác BHOC nội tiếp nên widehat{BOC} =widehat{BHC}, suy ra widehat{BAC} = 60^o Rightarrow widehat{KOC} = 60^o.

Ta có: dfrac{OK}{KC} =cotgwidehat{KOC} =cotg60^0 = dfrac{1}{sqrt{3}}

suy ra: dfrac{OK}{BC}=dfrac{OK}{2KC} = dfrac{1}{2sqrt{3}}

d)  Ta có: HE.HC = HB.HF = 3.4 = 12HE +HC =CE =8.

HC > HE, nên giải hệ ta được HC = 6, HE =2.

Bài 2:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cát cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.

a)     Chứng minh AD. AC = AE.AB.

b)     Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.

c)     Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh widehat{ANM} =widehat{AKN}

d)     Chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng.

 Hướng dẫn giải

21.png

a) Chứng minh tam giác ABD và ACE đồng dạng (g.g)

b) Chứng minh BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, cắt nhau tại H nên H là trực tâm. Suy ra AH vuông góc BC.

c) Ta có tam giác AMN cân tại A (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), suy rawidehat{ANM} =widehat{AMN}. VìAK bot OK, AM bot OM, AN bot ON nên A, N, M, O, K cùng thuộc đường tròn đường kính AO. Suy ra widehat{NKB} = widehat{OMN}. Mà widehat{AKN} + widehat{NKM} = widehat{OMN} + widehat{AMN} =90^o Rightarrow widehat {AKN} = widehat{AMN} =widehat{ANM}.

d) AN là tiếp tuyến của (O), ABE là cát tuyến cắt (O) tại E và B,ta chứng minh được AN^2 = AE.AB . Hơn nữa ta có tam giác AEH và AKB đồng dạng (g.g), suy ra AE.AB = AH.AK.

Từ đó ta có AN^2 = AH. AK, suy ra tam giác ANH và ANK đồng dạng(c.g.c), suy ra widehat{ANH} = widehat{AKN}.

Và từ câu c) ta có  widehat{ANH} = widehat{ANM}, suy ra tia NH và NM trùng nhau, hay N, H, M thẳng hàng.

Bài 3: