Các bài toán hình ôn thì vào 10(tt)

February 29, 2008

Bài 7 (LHP 04 – 05 – đề chung) Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ các tuyến MAB không đi qua O, A nằm giữa A và B. Tia phân giác widehat{ACB} cắt AB tại E.

a) Chứng minh MC = ME.

b) Chứng minh AD là phân giác của widehat{ADB}.

c) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh O, I, C, M, D cùng thuộc một đường tròn.

d) Chứng minh IM là phân giác của widehat{CID}

Bài 8:   (THTH 05 -06) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi I là điểm đối xứng của A qua O. Trên cạnh BA lấy điểm M và trên đường kéo dài của cạnh AC về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN. Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau.

b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn.

c) K là trung điểm của đoạn MN.

Advertisements

Các bài toán hình học ôn thi vào lớp 10(tt)

February 27, 2008

Bài 3, 4

Bài 5: (THTH 06 – 07) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC ( D thuộc cạnh BC). Trên AD lấy hai điểm M, N sao cho widehat{ABN} =widehat{CBM}. BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai F.

a)Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp.

b) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng:widehat{BCF} =widehat{ACM}. Từ đó suy ra: widehat{ACN} =widehat{BCM}.

Hướng dẫn giải:

5.png

a) Ta có:

widehat{BFN}=widehat{BAM} (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

Và  widehat{CEM}=widehat{CAM} (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

widehat{BAN} =widehat{CAM} (AD là phân giác góc A)
Nên ta có widehat{BFN} =widehat{CEM} hay widehat{BFC} =widehat{BEC}, suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau).

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: widehat{CFE} =widehat{CBE} hay widehat{NFA}=widehat{CBM}

widehat{EBA} =widehat{NFA}widehat{NBA} =widehat{CBM}(gt)

Do đó:widehat{NFA} = widehat{NFE}, suy ra F, A, E thẳng hàng.

c) Ta có widehat{BCF} = widehat{BEF} = widehat{BEA} (BFEC nội tiếp)

widehat{ACM} =widehat{MEA} =widehat{BEA} (AECM nội tiếp).

Suy ra widehat{BCF} =widehat{ACM}, dễ dàng suy ra widehat{ACN} =widehat{BCM}
Bài 6: (NK AB – 07 – 08) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và góc widehat{BAC} = 60^o. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm BC.
a) Chứng minh tam giác INP đều.
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Giả sử IA là phân giác của góc widehat{NIP}. Hãy tính số đo góc widehat{BCP}

Hướng dẫn giải:

6.png

a) Tam giác PCB vuông tại P có PI là trung tuyến nên PI = dfrac{1}{2}BC

Tương tự thì NI =dfrac{1}{2}BC

Suy ra: PI = NI (1)

Tam giác PIC cân tại I, nên ta có widehat{PIB} =2widehat{PCI}

Tương tự thì widehat{NIC} =2widehat{PBI}

widehat{PCI} +widehat{NBI} = 180^o - widehat{BHC} = 180^o - 120^o =60^0

suy ra: widehat{PIB} + widehat{NIC} = 2(widehat{PCI}+widehat{NBI}) = 120^o Rightarrow widehat{PIN} = 60^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác NIP đều.

b) Trong tam giác CPB có I, E lần lượt là trung điểm BC và CP nên IE là đường trung bình, suy ra IE bot CP Rightarrow widehat{IEH} = 90^o

Tương tự ta cũng có  widehat{IKH} = 90^o

Vậy ta có widehat{IEH} = widehat{IKH} =widehat{IMH} =90^o nêm 5 điểm K, H, I, E, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

c) Tam giác IPN đều, nếu IA là đường phân giác thì cũng là đường trung trực, nên suy ra AP = AN, suy ra triangle APC =triangle ANB Rightarrow AB = AC, từ đó ta có tam giác ABC đều, suy ra widehat{BCP} = 30^o


Bài toán tỉ số diện tích và ứng dụng (Phần 3)

February 27, 2008

Phần 2

Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: dfrac{AM}{MB} =dfrac{BN}{NC} =dfrac{CP}{PA} =k (k > 0)
a) Tính S_{MNP} theo S_{ABC}k
b) Tính k sao cho S_{MNP} đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải

Ta có: dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}} =dfrac{AM.AP}{AB.AC}
dfrac{CP}{AP} =k Rightarrow dfrac{AP}{PC} = dfrac{1}{k} Rightarrow dfrac{AP}{AC} =dfrac{1}{k+1}
Do đó: dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}} = dfrac{k}{(k+1)^2}
Chứng minh tương tự ta cũng có: dfrac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = dfrac{k}{(k+1)^2}, dfrac{S_{CNP}}{S_{ABC}} = dfrac{k}{(k+1)^2}
Từ đó ta có:
S_{MNP} =S_{ABC} - left(S_{AMP} + S_{BMN} + S_{CNP}right) = left[1 - dfrac{3k}{(1+k)^2}right]S_{ABC}
b) Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì left[1 - dfrac{3k}{(1+k)^2}right] đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có (1+k)^2 ge 4k Rightarrow dfrac{3k}{(1+k)^2} le dfrac{3}{4} Rightarrow 1 - dfrac{3k}{(1+k)^2} le dfrac{1}{4}.
Dấu bằng xảy ra khi k = 1.
Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng dfrac{1}{4} diện tích tam giác ABC khi k = 1.

Bài tập làm thêm

Bài 1:  Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1. Tìm các cách chứng minh khác.

Bài 2: Cho tam giác ABC có widehat{A} =60^o. Đường cao BH và CK. Chứng minh rằng S_{BCK} +S_{BCH} le S_{ABC}.

Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB = 3AM, AC = 3CN. BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính dfrac{AO}{OP}
Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng: dfrac{BM.CN.AP}{AN.BP.CM} =1 (Định lí Ceva).
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a. AD, BE và CF là các đường phân giác trong.
a) Tính BD, CD theo a, b, c.
b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF.

d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát.
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của G trên BC, AC và AB. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P sao cho dfrac{GM}{BC} = dfrac{GE}{AC} =dfrac{GF}{AB}. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP.

Bài 7:  Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. M là một điểm nằm trong tam giác. GM cắt các đường thẳng AB, AC và BC tại D, E, F. Chứng minh rằng: dfrac{MF}{FG} +dfrac{MD}{GD} +dfrac{ME}{GE} = 3

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 2CM. Đường thẳng qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K. Tính diện tích tam giác CKH.


Các bài toán hình học ôn thi học kì II và thi vào 10(tt)

February 25, 2008

 Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và CEH. Chứng minh HF đi qua trung điểm M của DE.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm F.

Hướng dẫn giải:

3.png

a) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và CEH.

Tam giác AHB vuông tại H có HD là trung tuyến nên DH = DB left(=dfrac{1}{2}AB right) mà IB = IH, suy ra DI là đường trung trực của BH. Suy ra DI bot BH.

Mặt khác ta có DE làđường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC.

Từ đó suy ra ID bot DE, mà D thuộc (I) nên DE là tiếp tuyến của (I).

Chứng minh tương tự ta cũng có DE là tiếp tuyến của (J).

b) Gọi M là giao điểm của HF và DE. Ta chứng minh được tam giác MDF và MHD đồng dạng (g.g), suy ra dfrac{MD}{MH} =dfrac{MF}{MD} Rightarrow MF.MH =MD^2 (1)

Tương tự ta có MF.MH =ME^2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.

c) Ta có widehat{DFM} =widehat{MDH}widehat{EFM} =widehat{MEH}, suy ra widehat {DFE} =widehat{DFM} + widehat{EFM} =widehat{MDH}+widehat{MEH} (3)

Tam giác DHE bằng tam giác DAE (ccc), suy ra widehat{DHE} = widehat{DAE} (4)

Từ (3) và (4) ta có: widehat{DAE} + widehat{DFE} =widehat{MDH} +widehat{MEH} +widehat{DHE} =180^o
Suy ra tứ giác AEFD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o), hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm F.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng.

b) Tìm vị trí của M để đoạn HK có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

41.png

a) Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AHMK nội tiếp. Từ đó suy ra
widehat{HAK} + widehat{HMK} = 180^owidehat{MHK} =widehat{MAK} (1)
Hơn nữa, tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) nên widehat{BAC} + widehat{BMC} =180^owidehat{MBC} =widehat{MAC} (2)
Từ (1) và (2) ta có widehat{HKM} =widehat{BMC}, widehat{MHK} =widehat{MBC}, suy ra tam giác MHK đồng dạng với tam giác MBC (g.g)
b) Tam giác MHK và MBC đồng dạng, suy ra dfrac{KH}{BC} =dfrac{MH}{MB} le 1 Rightarrow HK le BC
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi H trùng B, hay M điểm đối xứng của A qua O.
Vậy HK đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi M là điểm đối xứng của A qua O.

Phần 1


Bài toán tỉ số diện tích và ứng dụng (Phần 2)

February 24, 2008

Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM.

Hướng dẫn giải:

p2-1.png

Ta có \dfrac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \dfrac{AN}{CN} =\dfrac{1}{2}\dfrac{S_{KBM}}{S_{KBA}} =\dfrac{BN}{AB} =\dfrac{1}{2}

Suy ra  \dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4}, suy ra  \dfrac{MK}{CK}=\dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4} \Rightarrow CK = 4MK

Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh: \dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP} =2

Hướng dẫn giải:

p2-2.png

Ta có: \dfrac{AO}{AM} =\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABM}} =\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACM}} =\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_ {ABM}+S_{ACM}} = \dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}

Chứng minh tương tự ta có:\dfrac{BO}{BN} =\dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}}\dfrac{CO}{CP} =\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}}

Từ đó suy ra:

\dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP} =\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}+ \dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}} +\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}} =2

Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF.

Hướng dẫn giải:
p2-3.png

Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được OH = \dfrac{1}{2}BC, OK=\dfrac{1}{2}AC. Từ đó suy ra:
S_{OCD} = \dfrac{1}{2}OH.CD =\dfrac{1}{4}BC.CD =\dfrac{1}{4}S_{BCDE}S_{OCF} =\dfrac{1}{4}S_{ACFG}
S_{BCDE} = S_{ACFG} nên ta có: S_{OCD} =S_{OCF}. Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF

Phần 1


Các bài toán cực trị cơ bản và ứng dụng.

January 30, 2008

Chúng ta có các bài toán cực trị cơ bản sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất. Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải:

1.png

Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB). Ta có MH le MI le OM + OI . Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB.

Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.

Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.

 Hướng dẫn giải:

2.png

Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC.

Ta có widehat{ACB} =dfrac{1}{2}widehat{AMB}

Suy ra C thuộc cung chứa góc  dfrac{1}{2}widehat{AMB} dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB.

Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.

Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho dfrac{1}{CA} + dfrac{1}{CB} đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có chu vi lớn nhất.

Bài 4: ( CT NK 2007 – 2008)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC.

a)     Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.

b)     Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I.

a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất.


Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng.

January 30, 2008

Nguyên lý Dirichlet còn gọi là nguyên lý những cái lồng và các chú thỏ được phát biểu một cách khá đơn giản như sau:

       Nếu chúng ta nhốt thỏ và các lồng mà số lồng ít hơn số thỏ thì thế nào cũng có một lồng nhốt ít nhất hai con thỏ. 

Chỉ với phát biểu đơn giản như thế nhưng nhờ nguyên lý này nhiều bài toán đã được giải. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một vài ví dụ điển hình.

1. Nguyên lý Dirichlet trong số học

2.  Nguyên lý Dirichlet trong hình học