Các bài toán hình học ôn thi học kì II và thi vào 10

Bài 1: (Thi vào 10, năm 2007 – 2008).

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a)     Chứng minh rằng tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.

b)     Chứng minh AE. AB = AF. AC

c)     Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số dfrac{OK}{BC} khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d)     Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.

Hướng dẫn giải:

bai-1.png

a) B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đk BC nên tứ giác BEFC nội tiếp.

widehat{BEC} = 90^o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra CE bot AB

widehat{BFC}=90^o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra BF bot AC

Trong tam giác ABC hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH bot BC.

b) Ta có tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng vì có:

+ Góc A chung

+widehat{AEF} =widehat{ACB} ( tứ giác BEFC nội tiếp)

Suy ra: dfrac{AE}{AC} =dfrac{AF}{AB} Rightarrow AE.AB = AF.AC

c) Ta chứng minh được: widehat{BAC} +widehat{BHC} = 180^0

widehat{BOC} = 2widehat{BAC}( góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Mà tứ giác BHOC nội tiếp nên widehat{BOC} =widehat{BHC}, suy ra widehat{BAC} = 60^o Rightarrow widehat{KOC} = 60^o.

Ta có: dfrac{OK}{KC} =cotgwidehat{KOC} =cotg60^0 = dfrac{1}{sqrt{3}}

suy ra: dfrac{OK}{BC}=dfrac{OK}{2KC} = dfrac{1}{2sqrt{3}}

d)  Ta có: HE.HC = HB.HF = 3.4 = 12HE +HC =CE =8.

HC > HE, nên giải hệ ta được HC = 6, HE =2.

Bài 2:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cát cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.

a)     Chứng minh AD. AC = AE.AB.

b)     Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.

c)     Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh widehat{ANM} =widehat{AKN}

d)     Chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng.

 Hướng dẫn giải

21.png

a) Chứng minh tam giác ABD và ACE đồng dạng (g.g)

b) Chứng minh BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, cắt nhau tại H nên H là trực tâm. Suy ra AH vuông góc BC.

c) Ta có tam giác AMN cân tại A (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), suy rawidehat{ANM} =widehat{AMN}. VìAK bot OK, AM bot OM, AN bot ON nên A, N, M, O, K cùng thuộc đường tròn đường kính AO. Suy ra widehat{NKB} = widehat{OMN}. Mà widehat{AKN} + widehat{NKM} = widehat{OMN} + widehat{AMN} =90^o Rightarrow widehat {AKN} = widehat{AMN} =widehat{ANM}.

d) AN là tiếp tuyến của (O), ABE là cát tuyến cắt (O) tại E và B,ta chứng minh được AN^2 = AE.AB . Hơn nữa ta có tam giác AEH và AKB đồng dạng (g.g), suy ra AE.AB = AH.AK.

Từ đó ta có AN^2 = AH. AK, suy ra tam giác ANH và ANK đồng dạng(c.g.c), suy ra widehat{ANH} = widehat{AKN}.

Và từ câu c) ta có  widehat{ANH} = widehat{ANM}, suy ra tia NH và NM trùng nhau, hay N, H, M thẳng hàng.

Bài 3:

Advertisements

2 Responses to Các bài toán hình học ôn thi học kì II và thi vào 10

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: