Bài toán

January 30, 2008

Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) tại A’, B’, C’.  Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB. Khi đó ta có các kết quả sau:

1. D, E, F lần lượt là trung điểm của HA’, HB’ và HC’.

2. HA = 2OM, HB = 2ON và HC = 2OP.

3. S_{ABC} = \dfrac{BC. AC. AB}{4R} và  S_{A'B'C'} = \dfrac{B'C'. A'C'. A'B'}{4R}.

4. BC = 2R.sinA,\,\, EF = AH. sinA

5. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

a) Chứng minh các kết quả trên.

b) Sử dụng các kết quả đó chứng minh:

1. S_{ABC} \ge S_{A'B'C'} \Leftrightarrow AB^2 +AC^2 + BC^2 \ge 9R^2

2.  S_{ABC} \ge S_{A'B'C'} , từ đó suy ra AB^2 +AC^2 + BC^2 \ge 9R^2

3. Chứng minh trong các tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, tam giác đều là tam giác có chu vi và diện tích lớn nhất. Chứng minh cho trường hợp tam giác bất kì.

Advertisements

Xác định các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố nào đó.(tiếp theo)

January 30, 2008

Dạng 2: Biết tọa độ một đỉnh và phương trình của hai đường khác tính chất.

1. Biết tọa độ đỉnh A, phương trình đường cao BH, phân giác CD.
Các bước thực hiện:

+ Viết phương trình đường thẳng AC

+ Xác định tọa độ C là giao điểm của đt CD và đt AC.

+ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua CD

+ Vết phương trình đường thẳng BC đi qua  A’ và C.

Ví dụ 4: 

2. Biết tọa độ đỉnh A, đường cao BH, trung tuyến CM.

+ Viết phương trình đường thẳng AC, suy ra tọađộ đỉnh C.

+ Tính tọa độ trung điểm M của AB theo tọa độ của đỉnh B.

+ Vì M thuộc đường thẳng CM, B thuộc đường thẳng BH ta có hệ phương trình theo ẩn là tọa độ của B. Giải hệ ta được tọa độ của B.

Ví dụ 5: 

3.Biết tọa độ đỉnh A, trung tuyến BM và phân giác CD.


Các bài toán cực trị cơ bản và ứng dụng.

January 30, 2008

Chúng ta có các bài toán cực trị cơ bản sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất. Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải:

1.png

Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB). Ta có MH le MI le OM + OI . Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB.

Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.

Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.

 Hướng dẫn giải:

2.png

Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC.

Ta có widehat{ACB} =dfrac{1}{2}widehat{AMB}

Suy ra C thuộc cung chứa góc  dfrac{1}{2}widehat{AMB} dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB.

Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.

Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho dfrac{1}{CA} + dfrac{1}{CB} đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có chu vi lớn nhất.

Bài 4: ( CT NK 2007 – 2008)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC.

a)     Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.

b)     Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I.

a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất.


Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng.

January 30, 2008

Nguyên lý Dirichlet còn gọi là nguyên lý những cái lồng và các chú thỏ được phát biểu một cách khá đơn giản như sau:

       Nếu chúng ta nhốt thỏ và các lồng mà số lồng ít hơn số thỏ thì thế nào cũng có một lồng nhốt ít nhất hai con thỏ. 

Chỉ với phát biểu đơn giản như thế nhưng nhờ nguyên lý này nhiều bài toán đã được giải. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một vài ví dụ điển hình.

1. Nguyên lý Dirichlet trong số học

2.  Nguyên lý Dirichlet trong hình học


Trắc nghiệp các bài toán đếm và nhị thức Newton.

January 29, 2008

Đây là tài liệu trắc nghiệm về các bài toán đếm, các bài toàn về nhị thức Newton…, các đề bài ra khá đa dạng và ít trùng lặp do tớ làm được. Đặc biệt mỗi bài toán đều có lời giải khá chi tiết, không những giúp làm trắc nghiệm mà còn giúp cho làm toán tự luận.

to-hop.doc


Thế giới của các kí hiệu phép tính toán học (tiếp theo)

January 29, 2008

        Đối với phép nhân, người Hindu đã dùng cách viết bha( âm đầu của từ bhavita là tích) sau các nhân tử. Năm 1631 William Oughtred(1574 – 1660) người Anh, đã dùng dấu “x”  trong các tác phẩm của mình và người  ta đã  dùng nó cho đến ngày nay.

         Dấu “.” thay cho phép nhân đã được Thomas Harriot (1560 – 1621) dùng nhưng sau đó người ta ít dùng, chỉ đến khi (năm 1684) Gottfried Wilhelm Leibnizt ( 1646 – 1716) người Đức chấp nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nay dấu “.” vẫn được dùng cho phép nhân trong SGK của một số nước.

          Dấu “\cap” được G. W. Leibnizt  dùng cho phép nhân và ngày nay dấu này được dùng để chỉ phép giao trong tập hợp.

         Đối với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách viết số chia dưới số bị chia. Nhà toán học Mohammed  Ibn Musa Al – Khowarizmi ( khoảng 780 – khoảng  850) người Uzbekistan,đã dùng “3/4” hoặc “\dfrac{3}{4}” để chỉ 3 chia cho 4.

           Đến năm 1630, John Pell ( 1610 – 1685) người Anh đã dùng dấu ” \div” và sau đó năm 1659 Johann Heirich Rahn (1622 – 1676) người Thụy Sĩ, năm 1684 G.W. Leibnizt cũng dùng dấu ” \div ” để chỉ phép chia.

            Trong các ấn phẩm của Nga và Đức thì dấu \div rất ít thấy để chỉ phép chia mà lại dùng dấu ” : ” .

            Đối với phép khai căn, trước khi có dấu \sqrt{ .} thì người ta dùng R.q thay cho \sqrt{. }, R.c thay cho \sqrt[3]{. }.

           Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka (âm tiết đầu của từ karana là vô tỉ) trước đại lượng lấy căn.

           Đến năm 1525, trong cuốn “Die Coss”, Ch.Rudolff đã đưa ra dấu \sqrt{ .}. sở dỉ được ông kí hiệu như vậy vì có lẽ nó giống chữ r trong từ radical là dấu căn.

           Tất nhiên còn nhiều kí hiệu phép tính toán học nữa, như tích phân \int , vi phân \dfrac{\partial y}{\partial x}, ….

         Sau đây là một ví dụ về các kí hiệu phép tính toán học lấy trong cuốn sách công bố năm 1572 cùa nhà toán học raffaello Bombelli (1530 – 1572).
R.c L Rq 4352 p 16 \rfloor m R.c L R.q 4352 m 16 \rfloor.
Diễn đạt theo kí hiệu ngày nay là:
\sqrt[3]{\sqrt{4352}+16}-\sqrt[3]{\sqrt{4352}-16}


Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.

January 27, 2008

Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:

Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng 180^o.

Cách 2: Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối.

Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.

Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.

Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngoài các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Chúng ta xét bài toán sau:

Bài 1:  Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

b)  Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC

Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.

Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:

Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

5.png

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh   AH.AO = AB.AC.

Thật vậy ta có:

AH.AO = AP^2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)

AB.AC = AP^2 (tam giác APB và ACP đồng dạng).

Từ đó ta có AH.AO = AB.AC, theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.

Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.

Hướng dẫn giải

6.png

Tam giác OCA vuông tại C,  CH là đường cao nên ta có: HO.HA = HC^2

Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có HD.HE = HB.HC = HC^2

Từ đó ta có HA.HO = HD.HE, chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác  ADOE nội tiếp.

Bài tập

Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD,  N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh:

a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.

b) OI vuông góc với PQ.

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A vuông góc với  OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K. Chứng minh OK vuông góc với BC.