Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:

Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng 180^o.

Cách 2: Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối.

Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.

Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.

Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngoài các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Chúng ta xét bài toán sau:

Bài 1:  Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

b)  Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC

Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.

Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:

Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

5.png

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh   AH.AO = AB.AC.

Thật vậy ta có:

AH.AO = AP^2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)

AB.AC = AP^2 (tam giác APB và ACP đồng dạng).

Từ đó ta có AH.AO = AB.AC, theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.

Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.

Hướng dẫn giải

6.png

Tam giác OCA vuông tại C,  CH là đường cao nên ta có: HO.HA = HC^2

Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có HD.HE = HB.HC = HC^2

Từ đó ta có HA.HO = HD.HE, chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác  ADOE nội tiếp.

Bài tập

Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD,  N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh:

a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.

b) OI vuông góc với PQ.

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A vuông góc với  OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K. Chứng minh OK vuông góc với BC.

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: